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已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一个圆上,求直线l的方程.

(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.

解析试题分析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=,在根据抛物线的性质可得,解出p即可
(2)设直线l的方程为,(m≠0)代入中得,直线的方程为,将上式代入中,并整理得.A(x1,y1),B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式,计算的表达式,根据求出m即可.
试题解析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=
所以,由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为.
(2)依题意知直线l与坐标轴不垂直,故可设直线l的方程为,(m≠0)代入中得

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
有直线的斜率为-m,所以直线的方程为,将上式代入中,并整理得
.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为E().
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即,化简得
m2-1=0,解得m=1或m=-1,
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
考点:1.抛物线的性质和方程;2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.

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