已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一个圆上,求直线l的方程.
(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.
解析试题分析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=,在根据抛物线的性质可得,解出p即可
(2)设直线l的方程为,(m≠0)代入中得,直线的方程为,将上式代入中,并整理得.A(x1,y1),B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式,计算的表达式,根据求出m即可.
试题解析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=,
所以,由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为.
(2)依题意知直线l与坐标轴不垂直,故可设直线l的方程为,(m≠0)代入中得
,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,
故AB的中点为D(2m2+1,2m),,
有直线的斜率为-m,所以直线的方程为,将上式代入中,并整理得
.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为E().
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即,化简得
m2-1=0,解得m=1或m=-1,
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
考点:1.抛物线的性质和方程;2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.
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已知椭圆 的离心率为,过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设的右焦点为,在圆上是否存在点,满足,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
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已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16(m∈N*),直线4x-3y-16=0过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点,且被圆C所截得的弦长为,点A(3,1)在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求·的取值范围.
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给定椭圆,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.
(1)若椭圆C上一动点满足,求椭圆C及其“伴随圆”的方程;
(2)在(1)的条件下,过点作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为,求P点的坐标;
(3)已知,是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
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已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足+=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
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(本小题满分13分)
已知双曲线的两条渐近线分别为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.
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已知圆的圆心在坐标原点,且恰好与直线相切,设点A为圆上一动点,轴于点,且动点满足,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程,
(2)直线l与直线l,垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
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