Question

5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐方程为ρcosθ+ρsinθ=4．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的对应关系得出答案；
（2）根据距离公式得出距离d关于α的表达式，利用三角恒等变换得出距离的最大值．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）设曲线C上的点坐标为P（2cosα，sinα），
则P到直线l的距离d=$\frac{|2cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（α+φ）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（α+φ）=-1时，d取得最大值$\frac{\sqrt{5}+4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于基础题．