Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₁（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，$\frac{π}{3}$），则e的取值范围是[$\sqrt{3}$-1，1）．

Answer 1

分析 由题意可知：|F₁C|=|CO|=$\frac{1}{2}$，由|CM|=|CN|．原点O在以线段MN为直径的圆上，则|OA|=|OB|=c=1．由椭圆的性质，可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤$\sqrt{3}$，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，
由AF₁的中点为M，BF₁的中点为N，
∴MN∥AB，|F₁C|=|CO|=$\frac{1}{2}$，
∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，
∴|CM|=|CN|．
∵原点O在以线段MN为直径的圆上，
∴|CO|=|CM|=|CN|=$\frac{1}{2}$．
∴|OA|=|OB|=c=1．
∵|OA|＞b，
∴a²=b²+c²＜2c²，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
设A（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={a}^{2}（2-{a}^{2}）}\\{{y}^{2}=1-2{a}^{2}+{a}^{4}}\end{array}\right.$．
AB的倾斜角α∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴直线AB斜率为0＜k≤$\sqrt{3}$，
∴0＜$\frac{1-2{a}^{2}+{a}^{4}}{{a}^{2}（2-{a}^{2}）}$≤3，
∴1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤a²≤1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$∈[$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1]，
由于0＜e＜1，
∴离心率e的取值范围为[$\sqrt{3}$-1，1）．
故答案为：[$\sqrt{3}$-1，1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于难题．