Question

3．已知函数g（x）=$\frac{a}{6}$x³-$\frac{1}{2}$x²，a∈R，其导函数为g′（x）
（1）设f（x）=lnx-g′（x），求函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）=lnx-g′（x）的极值为正实数，求a的取值范围；
（3）当a=$\frac{3}{2e}$时，若函数y=g（x）+mx-lnx有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f$′（x）=\frac{1}{x}-ax+1$=-$\frac{a{x}^{2}-x-1}{x}$．分①a≤0，②a＞0，讨论单调性；
（2）由（1）得当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极大值，其值为f（x₂）=lnx₂-$\frac{1}{2}a{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}$=lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$．设函数h（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$（x＞0），可得$h（x）=lnx+\frac{x-1}{2}$在（0，+∞）上为增函数．可得f（x₂）=lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$＞0等价于x₂＞1．即在a＞0时，方程ax²-x-1=0的大根大于1，设φ（x）=ax²-x-1，只需φ（1）＜0，即a-1-1＜0，解得a；
（3）函数y=$\frac{{x}^{3}}{4e}-\frac{1}{2}{x}^{2}+mx-lnx$有零点，则方程$\frac{{x}^{3}}{4e}-\frac{1}{2}{x}^{2}+mx-lnx$=0有实根，即方程$\frac{{x}^{2}}{4e}-\frac{1}{2}x+m-\frac{lnx}{x}=0$有实根，令${y}_{1}=\frac{{x}^{2}}{4e}-\frac{1}{2}x+m$，${y}_{2}=\frac{lnx}{x}$利用两函数单调性在同一坐标系中画出其草图，结合图象可得m的取值范围

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．f$′（x）=\frac{1}{x}-ax+1$=-$\frac{a{x}^{2}-x-1}{x}$．
①当a≤0时，∵$\frac{1}{x}＞0$，-ax＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．
②当a＞0时，则△＞0，方程ax²-x-1=0的两个实根分别为${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2a}$＜0，${x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$＞0．
此时，当x∈（0，x₂）时，f′（x）＞0，当x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，x₂），单调递减区间为（x₂，+∞）．
综上所述，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$），单调递减区间为（$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，+∞）．
 当a≤0时，f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
（2）解：由（1）得当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$），单调递减区间为（$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，+∞）．
则f（x）有极大值，其值为f（x₂）=lnx₂-$\frac{1}{2}a{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}$，∵而$a{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}-1=0$，∴f（x₂）=lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$．
设函数h（x）=lnx+$\frac{x-1}{2}$（x＞0），则h′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{1}{2}＞0$，则$h（x）=lnx+\frac{x-1}{2}$在（0，+∞）上为增函数．又h（1）=0，则h（x）＞0等价于x＞1．
∴f（x₂）=lnx₂+$\frac{{x}_{2}-1}{2}$＞0等价于x₂＞1．
即在a＞0时，方程ax²-x-1=0的大根大于1，设φ（x）=ax²-x-1，
由于φ（x）的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴x=$\frac{1}{2a}＞0$，
则只需φ（1）＜0，即a-1-1＜0，解得a＜2，而a＞0，故实数a的取值范围为（0，2）．
（3）函数y=$\frac{{x}^{3}}{4e}-\frac{1}{2}{x}^{2}+mx-lnx$有零点，则方程$\frac{{x}^{3}}{4e}-\frac{1}{2}{x}^{2}+mx-lnx$=0有实根，
即方程$\frac{{x}^{2}}{4e}-\frac{1}{2}x+m-\frac{lnx}{x}=0$有实根，
令${y}_{1}=\frac{{x}^{2}}{4e}-\frac{1}{2}x+m$，${y}_{2}=\frac{lnx}{x}$
∵x∈（0，e）时，y₁递减，x∈（e，+∞）时，y₁递增，
∵x∈（0，e）时，y₂递增，x∈（e，+∞）时，y₂递减．，
在同一坐标系中其草图如下：

要使函数y=g（x）+mx-lnx有零点，则必须$\frac{{e}^{2}}{4e}-\frac{1}{2}e+m≤\frac{1}{e}$，⇒m≤$\frac{1}{e}+\frac{e}{4}$
∴m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{e}+\frac{e}{4}$）

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了分类讨论思想、数形结合思想、转化思想，属于难题．