Question

8．函数f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求当x＜0时，函数的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可；
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，结合函数的奇偶性，求出函数的解析式即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=${{x}_{1}}^{2}$+2x₁-${{x}_{2}}^{2}$-2x₂
=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2），
∵x₁-x₂＜0，x₁+x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=x²-2x=f（x），
即x＜0时，f（x）=x²-2x．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，求函数的解析式问题，是一道基础题．