Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-x）+2{cos^2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{3}）$的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由诱导公式与辅助角公式化简解析式，由此得到$f（\frac{π}{3}）$的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围得到2x+$\frac{π}{6}$的范围，由此得到f（x）的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-x）+2{cos^2}\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx+cosx+1
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴$f（\frac{π}{3}）$=2，
f（x）的最小正周期是T=π．
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，2π+$\frac{π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]，
∴f（x）∈[-1，3]．

点评 本题考查三角函数式的化简，以及由x的范围确定值域．