Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的焦距为2$\sqrt{3}$，一条准线方程为x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．过点（0，-2）的直线l交椭圆于A，C两点（异于椭圆顶点），椭圆的上顶点为B，直线AB，BC的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当∠CAB=90°时，求直线l的斜率；
（3）当直线l的斜率变化时，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设A（x₀，y₀），由∠CAB=90°，可得k_AC•k_AB=-1，化为：${y}_{0}^{2}+{y}_{0}$-2=-${x}_{0}^{2}$，由点A在椭圆上，可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，解得y₀，x₀．可得A，及其斜率k_l．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx-2，与椭圆方程联立化为：（1+4k²）x²-16kx+12=0，B（0，1），把根与系数的关系代入k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，
联立解得：c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设A（x₀，y₀），∵∠CAB=90°，∴k_AC•k_AB=-1，
∴$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-1，化为：${y}_{0}^{2}+{y}_{0}$-2=-${x}_{0}^{2}$，
由点A在椭圆上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴${x}_{0}^{2}$=4-4${y}_{0}^{2}$，
∴$3{y}_{0}^{2}-{y}_{0}-2$=0，解得y₀=1或-$\frac{2}{3}$，
∵A与B不重合，∴y₀=-$\frac{2}{3}$，解得x₀=$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
∴A$（±\frac{2\sqrt{5}}{3}，-\frac{2}{3}）$．
∴k_l=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=kx-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，B（0，1），
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}-3）（k{x}_{2}-3）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-\frac{48{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+9}{\frac{12}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．