Question

7．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（-ax+x³+1）+f（ax-x³-1）≥2f（1）对x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [2，4]
• B． [2，+∞）
• C． [3，4]
• D． [2，3]

Answer 1

分析 由题意可得-1≤-ax+x³+1≤1对x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，即 x∈（0，$\sqrt{2}$]时，a≤x²+$\frac{2}{x}$ 和 a≥x²同时恒成立．利用导数求得x²+$\frac{2}{x}$ 的最小值，再求得x²的最大值，可得a的范围．

解答 解：由题意可得定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，f（x）在（-∞，0]上递增，
且偶函数f（x）的图象关于y轴对称．
∵不等式f（-ax+x³+1）+f（ax-x³-1）≥2f（1）对x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，f（-ax+x³+1）=f（ax-x³-1），
∴f（-ax+x³+1）≥f（1）对x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，
∴-1≤-ax+x³+1≤1对x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，
即 x∈（0，$\sqrt{2}$]时，a≤x²+$\frac{2}{x}$ 和 a≥x²同时恒成立．
令h（x）=x²+$\frac{2}{x}$，∵由 h′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2{（x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$=0，求得x=1，
在（0，1）上，h′（x）＜0，在（1，$\sqrt{2}$]上，h′（x）＞0，故h（x）的最小值为h（1）=3，∴a≤3 ①．
再根据 x∈（0，$\sqrt{2}$]时，a≥x² 恒成立，∴a≥2 ②．
结合①②可得，2≤a≤3．
故选：D

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，导数与函数的单调性间的关系，函数的恒成立问题，属于中档题．