Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bc=5，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若sinB=5sinC，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式计算cosA，得出sinA，代入面积公式计算面积；
（II）由正弦定理得出b=5c，解方程组得出b，c，再利用余弦定理求出a．

解答 解：（I）∵cosA=2cos²$\frac{A}{2}$-1=$\frac{4}{5}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×\frac{3}{5}=\frac{3}{2}$．
（II）∵sinB=5sinC，∴b=5c．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{bc=5}\\{b=5c}\end{array}\right.$得b=5，c=1．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+1-2×$5×1×\frac{4}{5}$=18．
∴a=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式，属于中档题．