Question

12．已知函数f（x）=2cos²ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，给出下列四个命题：
（1）f（x）的最大值为3；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函数是偶函数；
（3）f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增；
（4）f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称．
其中正确说法的序号是（　　）

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）
• C． （1）（2）（4）
• D． （1）（3）（4）

Answer 1

分析 利用二倍角公式的逆运用及辅助角公式将f（x）化简为2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，f（x）的最小正周期为π，求得ω=1，由正弦函数的性质即可判断函数的最大值、单调性及对称轴，向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函数为f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）+1，可判断平移后的函数不是偶函数．

解答 解：f（x）=2cos²ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx（ω＞0），
=1+cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
f（x）的最小正周期为π，根据周期公式可知：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由正弦函数性质可知，f（x）的最大值为3，故（1）正确；
将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函数为f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）+1，不是偶函数，故（2）错误；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，f（x）单调递增，
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，
故（3）正确；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，故（4）正确；
故答案选：D．

点评 本题考查二倍角公式及辅助角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．