Question

【题目】已知函数有两个极值点.

（1）求的取值范围；

（2）的两个极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）先对函数求导，设，根据题中条件可得在内有两个变号零点，再对求导，判断函数单调性，分别讨论，即可求出结果；

（2）先由题意可得到的极值点，就是的零点，即，根据(1)中单调性，以及，可得，，再设，，对函数求导，结合题中条件，即可证明结论成立.

（1）的定义域为，.

设，则由题意得，在内有两个变号零点.

，令，解得；令，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，因此.

当时，，这时在上没有变号零点；

当时，，，又因为，，，

所以在和内分别有一个变号零点.

综上，的取值范围为.

（2）的极值点，就是的零点，即.

因为在单调递增，而在上单调递减，且，

所以，.

设，，

则 .

因为时，，

所以当时，，所以在上单调递减.

又因为，所以当时，，即，

因为，所以，又因为，所以.

由于，而在上单调递减.

所以，从而，因此.