Question

己知抛物线x²=4y，过定点M₀（0，m）（m＞0）的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）分別过A，B作抛物线的两条切线，A，B为切点，求证：这两条切线的交点P（x₀，y₀）在定直线y=-m上；
（2）当m＞2时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线l对称，弦长|PQ|是否存在最大值？若存在，求其最大值（用m表示），若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出过点A、B的切线方程，利用直线PA、PB过P（x₀，y₀），可得点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线xx₀=2（y₀+y）上，利用直线AB过定点M₀（0，m），即可证明结论；
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，则直线PQ的方程为：y=-

1

k

x+n，代入抛物线方程可得x²+

4

k

x-4n=0，利用韦达定理，结合弦长公式，分类讨论，利用配方法，即可得出结论．

解答： 解：（1）由x²=4y，得y′=

1

2

x，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
过点A的切线方程为：y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），即x₁x=2（y+y₁）
同理求得过点B的切线方程为：x₂x=2（y+y₂）
∵直线PA、PB过P（x₀，y₀），∴x₁x₀=2（y₀+y₁），x₂x₀=2（y₀+y₂）
∴点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直线xx₀=2（y₀+y）上，
∵直线AB过定点M₀（0，m），
∴0=2（y₀+m），即y₀=-m，
∴两条切线PA、PB的交点P（x₀，y₀）在定直线y=-m上．
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），设直线l的方程为：y=kx+m，
则直线PQ的方程为：y=-

1

k

x+n，代入抛物线方程可得x²+

4

k

x-4n=0，
∴x₃+x₄=-

4

k

，x₃x₄=-4n，△=(

4

k

)2+16n＞0             ①
设弦PQ的中点G（x₅，y₅），则x₅=-

2

k

，y₅=

2

k2

+n
∵弦PQ的中点G（x₅，y₅）在直线l上，∴

2

k2

+n=k•（-

2

k

）+m，
即n=m-2-

2

k2

     ②
②代入①中，得

1

k2

＜m-2       ③
∴|PQ|=

1+(- 1 k )2

|x₃-x₄|=

1+(- 1 k )2

•

(- 4 k )2+16n

=4

-( 1 k2 - m-3 2 )2+( m-1 2 )2

由已知m＞2，当

m-2＞0 m-3＜0

，即2＜m＜3时，弦长|PQ|中不存在最大值．
当m＞3时，这时m-2＞

m-3

2

，此时，弦长|PQ|中存在最大值m-1．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式，考查导数知识的运用，有难度．