Question

【题目】已知函数， .

(1)如果对任意， 恒成立，求的取值范围；

(2)若函数有两个零点，求的取值范围；

(3)若函数的两个零点为，证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）分离参数后变为，对恒成立，只需利用导数求的最小值即可；（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，结合图象可求出k的取值范围；（3）由（2）知：不妨设，构造函数， ，利用导数可证得即，因为，故，再根据的单调性，可证出结论.

试题解析：

（1）对， 恒成立

，对恒成立

令，则，

易知： 在上递减，在上递增.

， 的取值范围是

（2）有两个零点，等价于与有两个不同的交点，

由 （1）知，

（3）证明：由（2）知：不妨设，

则， ，即

令，

，即为增函数

，即

因为，故

由，得

由（1）知在上递减，

故，即：