Question

有n粒球（n≥2，n∈N^*），任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S_n．例如，对于4粒球有如下两种分解：（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S₄=1×3+1×2+1×1=6；（4）→（2，2）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S₄=2×2+1×1+1×1=6，于是发现S₄为定值6．请你计算S₅的值为

 

，猜想S_n=

 

（n≥2）．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：从n=1开始研究，到n=2，n=3，n=4，n=5，…找出S_n的共性，得到和的一般性规律，从而解决本题．

解答： 解：（2）→（1，1），此时S₂=1×1=1；
（3）→（1，2）→（1，1，1），此时S₃=1×2+1×1=2+1=3；
（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S₄=1×3+1+2+1×1=3+2+1=6；
（5）→（1，4）→（1，1，3）→（1，1，1，2）→（1，1，1，1，1），此时S₅=1×4+1×3+1×2+1×1=4+3+2+1=10；
…
归纳猜想：Sn=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=

n2-n

2

．
故答案为：10；

n2-n

2

点评：本题考查的是归纳推理，要求学生理解本题的新定义的规律，从出发现规律，得到本题的解．另外，本题还可以尝试从S₅=4+S₄的角度去寻找解题规律．