Question

9．若函数满足f（x）=x，把此时的实数x称为函数y=f（x）的不动点．
（1）若函数y=x^m-3的一个不动点是2，求m的值；
（2）若函数g（x）=x²+（a-4）x-3b是区间[b-a，b]上的偶函数
①求a、b的值，并求出这个函数的不动点；
②判断函数F（x）=g（x+1）-g（x-1）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用不动点的定义，列出方程求解即可．
（2）①利用偶函数的定义求解a、b，不动点的定义求解不动点即可；
②写出函数的解析式，利用函数的奇偶性定义判断即可．

解答 解：（1）由不动点的定义可知：函数y=x^m-3的一个不动点是2，
可得：2^m-3=2，解得m=log₂5．
（2）若函数g（x）=x²+（a-4）x-3b是区间[b-a，b]上的偶函数，
①可得：a-4=0，b-a=-b，解得a=4、b=2，由x²-6=x，可得x=-2，x=3∉[-2，2]舍去，
这个函数的不动点为x=-2；
②函数F（x）=g（x+1）-g（x-1）=（x+1）²-6-（（x-1）²-6）=4x．
F（-x）=-4x=-F（x），
函数是奇函数．

点评 本题考查函数与方程的应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．