Question

1．19、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=2，CD=4，四边形ADE₁F₁是正方形，且平面ADE₁F₁⊥平面ABCD，M是E₁C的中点．
（1）证明：BM∥平面ADE₁F₁；
（2）求三棱锥D-BME₁的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
（2）根据条件求出三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 （1）证明：取E₁D的中点N，连接MN，AN，在△E₁DC中，M，N分别为E₁C，E₁D的中点，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴MN∥AB，MN=AB．
则四边形ABMN是平行四边形，则BM∥AN，
∵AN?平面ADE₁F₁，BM?平面ADE₁F₁，
∴BM∥平面ADE₁F₁．
（2）由平面ADE₁F₁⊥平面ABCD，E₁D?平面ADE₁F₁，平面ADE₁F₁∩平面ABCD=AD，E₁D⊥AD，
E₁D⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，E₁D∩CD=D，
∴AD⊥平面E₁DC，
∵AB∥CD，CD?平面E₁DC，AB?平面E₁DC，
∴AB∥平面E₁DC，
则B到平面E₁DC的距离就是A到平面E₁DC的距离，即B到平面E₁DC的距离是AD，
由${S}_{△{E}_{1}DM}=\frac{1}{2}{E}_{1}D•（\frac{CD}{2}）$=$\frac{1}{2}×2×2=2$，
则${V}_{D-{E}_{1}MB}={V}_{B-{E}_{1}DM}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{E}_{1}DM}$•AD=$\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$，
即三棱锥D-BME₁的体积V=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．