Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k²)x²(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由．

Answer 1

　(1)令y＝0，得kx－(1＋k²)x²＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．

所以炮的最大射程为10km.

(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k²)a²成立

⇔关于k的方程a²k²－20ak＋a²＋64＝0有正根

⇔判别式Δ＝(－20a)²－4a²(a²＋64)≥0

⇔a≤6.

所以当a不超过6(km)时，可击中目标．