Question

4．当实数x，y满足x²+y²=1时，|x+2y+a|+|3-x-2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据实数x，y满足x²+y²=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3-x-2y|的值与x，y均无关时a的取范围．

解答 解：∵实数x，y满足x²+y²=1，
可设x=cosθ，y=sinθ，
则x+2y=cosθ+2sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+α），其中α=arctan2；
∴-$\sqrt{5}$≤x+2y≤$\sqrt{5}$，
∴当a≥$\sqrt{5}$时，
|x+2y+a|+|3-x-2y|=（x+2y+a）+（3-x-2y）=a+3，其值与x，y均无关；
∴实数a的取范围是[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案为：$[{\sqrt{5}}\right.，+∞）$．

点评 本题考查了圆的方程以及绝对值的定义与应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．