Question

在平面直角坐标系xOy中，F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一个端点，E是椭圆C上的一点，满足OE=OF₁+

2

2

OB，且△EF₁F₂的周长为2（

2

+1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是线段OF₂上的一点，过点F₂且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知F₁（-xc，0），设B（0，b），则E（-c，

2

2

b），

c

a

=

2

2

，2a+2c=2+2

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0，由

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点M到直线距离的取值范围．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）由已知F₁（-xc，0），设B（0，b），即

OF1

=（-c，0），

OB

=（0，b），
∴

OE

=（-c，

2

2

b），即E（-c，

2

2

b），
∴

c2

a2

+

1 2 b2

b2

=1，得

c

a

=

2

2

，①…（2分）
又△PF₁F₂的周长为2（

2

+1），
∴2a+2c=2+2

2

，②…（4分）
又①②得：c=1，a=

2

，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．…（5分）
（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x-1），k≠0，
由

y=k(x-1) x2+2y2=2

，消去y，得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点为N（x₀，y₀），
则x1+x2=

4k2

1+2k2

，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+2k2

，y0=

y1+y2

2

=

-k

1+2k2

，
即N（

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

），…（8分）
∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ，
即

k2

m(1+2k2)-2k2

=-1，
∴m=

k2

1+2k2

=

1

2+ 1 k2

∈（0，

1

2

），…（10分）
设点M到直线l：kx-y-k=0距离为d，
则d²=

k2(m-1)2

k2+1

=

k2(k2+1)

(1+2k2)2

＜

1 4 (k2+k2+1)2

(1+2k2)2

=

1

4

，
∴d∈（0，

1

2

），
即点M到直线距离的取值范围是（0，

1

2

）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．