Question

已知双曲线2x²－2y²＝1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|＋|PF₂|＝4.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

(1)依题意双曲线方程可化为－＝1，
则|F₁F₂|＝2，
∴|PF₁|＋|PF₂|
＝4>|F₁F₂|＝2.
∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其方程可设为＋＝1
(a>b>0)．
由2a＝4,2c＝2，
得a＝2，c＝1，
∴b²＝4－1＝3.则所求椭圆方程为＋＝1，
故动点P的轨迹E的方程为＋＝1.
(2)设|PF₁|＝m>0，
|PF₂|＝n>0，∠F₁PF₂＝θ，
则由m＋n＝4，|F₁F₂|＝2，
可知在△F₁PF₂中，
cosθ＝

略