Question

某同学在寒假期间进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取行人进行了一次生活习惯是否符合环保观念的调查，若生活习惯符合环保观念的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：

组数	分组	环保数的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55]	15	0.3

（Ⅰ）补全频率分布直方图，并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从[35，45）岁年龄段的“环保族”中采用分层抽样法抽取16人参加户外环保体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[35，40）岁的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知条件求出第二组的频率，从而补全频率分布直方图，由此能求出n、a、p的值．
（Ⅱ）[35，40）岁年龄段的“环保族”人数与[40，45）年龄段的“环保族”人数的比值为100：60=5：3，由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．

解答： 解：（Ⅰ）第二组的频率为：
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴高为

0.3

5

=0.06，
频率分布直方图如右图．
第一组的人数为

120

0.6

=200，频率为0.04×5=0.2，
∴n=

200

0.2

=1000．
由题意知第二组的频率为0.3，
∴第二组的人数为1000×0.3=300，
∴p=

195

300

=0.65，
第四组的频率为0.03×5=0.15，
∴第四组的人数为1000×0.15=150，
∴a=150×0.4=60．
（Ⅱ）∵[35，40）岁年龄段的“环保族”人数
与[40，45）年龄段的“环保族”人数的比值为100：60=5：3，
∴采用分层抽样抽取16人，
其中[35，40）岁中有10人，{40，45）岁中有6人，
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 0 10 C 3 6

C 3 16

=

1

28

，
P（X=1）=

C 1 10 C 2 6

C 3 16

=

15

56

，
P（X=2）=

C 2 10 C 1 6

C 3 16

=

27

56

，
P（X=3）=

C 3 10 C 0 6

C 3 16

=

12

56

=

3

14

，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 28	15 56	27 56	3 14

∴EX=0×

1

28

+1×

15

56

+2×

27

56

+3×

3

14

=

15

8

．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．