Question

15．已知点F₁（-1，0），F₂（1，0）为椭圆C的两个焦点，过点F₂且垂直于x轴的直线与椭圆相交，设P为其中一交点，若△PF₁F₂为等腰三角形，则该椭圆的长轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 由题意可得c=1，即a²-b²=1，设出椭圆方程，代入x=c，求得P的纵坐标，再由等腰三角形可得|PF₂|=|F₁F₂|，
解方程可得a的值，进而得到椭圆的长轴长．

解答 解：由题意可得c=1，即a²-b²=1，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=c，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
若△PF₁F₂为等腰三角形，即有|PF₂|=|F₁F₂|，
即为$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c=2，即有a²-2a-1=0，
解得a=1+$\sqrt{2}$，即有长轴长为2a=2+2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．