Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0）对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数y=f（x）+2x为偶函数；函数g（x）=1﹣2^x．（I） 求函数f（x）的表达式；（II） 求证：方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；

（III） 若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围．

Answer 1

（I）解：∵对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=1，得b=﹣2a．

又函数y=f（x）+2x=ax²+（b+2）x+1为偶函数，∴b=﹣2，从而可得a=1．

∴f（x）=x²﹣2x+1=（x﹣1）²．（II）证明：设h（x）=f（x）+g（x）=（x﹣1）²+1﹣2^x，

∵h（0）=2﹣2⁰=1＞0，h（1）=﹣1＜0，∴h（0）h（1）＜0．所以函数h（x）在区间[0，1]内必有零点，

又∵（x﹣1）²，﹣2^x在区间[0，1]上均单调递减，所以h（x）在区间[0，1]上单调递减，

∴h（x）在区间[0，1]上存在唯一零点．故方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根．

（III）解：由题可知∴f（x）=（x﹣1）²≥0．g（x）=1﹣2^x＜1，

若有f（m）=g（n），则g（n）∈[0，1），则1﹣2ⁿ≥0，解得 n≤0．故n的取值范围是n≤0．