Question

已知双曲线

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，以|F₁F₂|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a²+b²=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到

b

a

=

4

3

，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．

解答： 解：∵点（3，4）在以|F₁F₂|为直径的圆上，
∴c=5，可得a²+b²=25…①
又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=

b

a

x上，
∴

b

a

=

4

3

…②，
①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程

x2

9

-

y2

16

=1．
故答案为：

x2

9

-

y2

16

=1．

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．