Question

若对任意x∈A，y∈B，(A⊆R，B⊆R)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)为关于x，y的二元函数．满足下列性质的二元函数f(x，y)称为关于实数x，y的广义“距离”：

(1)非负性：f(x，y)≥0，当且仅当x＝y时取等号；

(2)对称性：f(x，y)＝f(y，x)；

(3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)对任意的实数z均成立．

今给出三个二元函数：①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)²；③f(x，y)＝.

其中能够成为关于x，y的广义“距离”的二元函数的序号是(    )

A．①                B．①②                     C．②③            D．①②③

Answer 1

A

解析：对函数f(x，y)＝|x－y|，∵f(x，y)≥0，当且仅当x＝y时取等号，满足非负性；

f(y，x)＝|y－x|＝|x－y|＝f(x，y)，满足对称性；

由|a＋b|≤|a|＋|b|得|x－y|＝|(x－z)＋(z－y)|≤|x－z|＋|z－y|对任意的实数z均成立．

即f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)，满足三角形不等式．故①满足广义“距离”．

对函数f(x，y)＝(x－y)²，显然满足非负性和对称性．

∵当z＝0时，f(x，y)－[f(x,0)＋f(0，y)]＝－2xy，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故②不满足广义“距离”．

对函数f(x，y)＝，显然不满足对称性．故③不满足广义“距离”．故选A.