Question

4．已知公差不为零的等差数列{a_n}的首项为2，前n项和为S_n，且数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，可得：a_n，S_n，可得$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}d{n}^{2}+（2-\frac{d}{2}）n}{nd+2-d}$，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{d+2}$，$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{3d+6}{2d+2}$．利用数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，可得2（1+$\frac{2}{d+2}$）=1+$\frac{3d+6}{2d+2}$．解出即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∴a_n=2+（n-1）d，S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}d{n}^{2}+（2-\frac{d}{2}）n}{nd+2-d}$，
则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$=1，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{2d+（2-\frac{d}{2}）×2}{2d+2-d}$=$\frac{d+4}{d+2}$=1+$\frac{2}{d+2}$．
$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{\frac{9}{2}d+（2-\frac{d}{2}）×3}{3d+2-d}$=$\frac{3d+6}{2d+2}$．
∵数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，
∴2（1+$\frac{2}{d+2}$）=1+$\frac{3d+6}{2d+2}$．
解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．