Question

3．函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x） 为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．
其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）

Answer 1

分析 在①中，举出反例得到函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．

解答 解：在①中，函数f（x）=x²（x∈R），由f（-1）=f（1），但-1≠1，
得到函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数，故①错误；
在②中，“x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）”的逆否命题是“若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂”．
互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；
在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，
∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；
在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．