Question

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n）=c_n，n∈N^*．
（1）设a_n=（

1

3

）ⁿ，b_n=1-3n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=2n+4，{a_n}是公差为2的等差数列，若b₁=1，求{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=3n-25，a_n=n²-8n，求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）c_n=-3[（

1

3

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ]=

2

3n

，由此能示出S_n．
（2）2n+4=2（b_n+1-b_n），b_n+1-b_n=n+2，由此推导出{b_n-

1

2

（n-1）n-2n}是首项为b₁-2=-1的常数数列，从而能求出b_n=

(n-1)n

2

+2n-1．
（3）n-25=[（n+1）²-n²-8]（b_n+1-b_n）=（2n-7-n²）（b_n+1-b_n），由此求出1≤n＜

25

3

时，{b_n}单调递增，从而能求出b_n≤b₉，k=9．

解答： 解：（1）∵c_n=（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n），a_n=（

1

3

）ⁿ，b_n=1-3n，
c_n=-3[（

1

3

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ]
=-3（

1

3

）ⁿ⁺¹（1-3）=

2

3n

，
∴S_n=

2

3

（1+

1

3

+…+

1

3n-1

）
=

2

3

×

1- 1 3n

1- 1 3

=1-

1

3n

．
（2）由题意知：2n+4=2（b_n+1-b_n），
b_n+1-b_n=n+2，
b_n+1=b_n+n+2=b_n+

1

2

[n（n+1）-（n-1）n]+2（n+1-n），
b_n+1-

1

2

n（n+1）-2（n+1）=b_n-

1

2

（n-1）n-2n，
∴{b_n-

1

2

（n-1）n-2n}是首项为b₁-2=-1的常数数列，
b_n-

1

2

（n-1）n-2n=-1，
b_n=

(n-1)n

2

+2n-1．
（3）由题意得3n-25=[（n+1）²-n²-8]（b_n+1-b_n）
=（2n-7-n²）（b_n+1-b_n），
n²-2n+7=（n-1）²+6≥6＞0．
b_n+1-b_n=

3n-25

2n-7-n2

=

3( 25 3 -n)

(n-1)2+6

，
1≤n＜

25

3

时，b_n+1-b_n＞0，b_n+1＞b_n，{b_n}单调递增；
1≤n≤9时，b_n≤b₉．
n＞

25

3

时，b_n+1-b_n＜0，b_n+1＜b_n，{b_n}单调递减．n≥9时，b_n≤b₉．
综合，有b_n≤b₉，k=9．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要注意数列的单调性的合理运用．