Question

已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=1； 
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数； 
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为

 

．（请将正确的序号都填上）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①令x=-3，由偶函数的定义，可得f（3）=0，即可判断；
②由于函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，可得f（-6+x）=f（-6-x），即可判断；
③由条件可得y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，再由偶函数和周期性，即可判断；
④先判断方程f（x）=0在[-3，3]上有2个实根（-3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，即可判断．

解答： 解：对于①：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，故①错；
对于②：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），∴y=f（x）图象关于x=-6对称，即②正确；
对于③：∵当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[-3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴y=f（x）在区间[-9，-6]上为减函数，故③错误．
对于④：∵y=f（x）在区间[-3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2个实根（-3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[-9，-3）上有1个实根（为-9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4个实根．故④正确．
故答案为：②④

点评：本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．