Question

1．已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（$\frac{cosα}{sinβ}$）^|x-2|+（$\frac{cosβ}{sinα}$）^|x-2|，则关于x的不等式f（2x-1）-f（x+1）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）
• B． （$\frac{4}{3}$，2）
• C． （-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）
• D． （-$\frac{4}{3}$，2）

Answer 1

分析 由已知α，β为锐角△ABC的两个内角，得到cosβ=sin（90°-β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，从而得到函数在（2，+∞）上单调递减，在（-∞，2）单调递增，利用此单调性将f（2x-1）-f（x+1）＞0转化为不等式∴|2x-1-2|＜|x+1-2|解之即可．

解答 解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°-β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（$\frac{cosα}{sinβ}$）^|x-2|+（$\frac{cosβ}{sinα}$）^|x-2|，在（2，+∞）上单调递减，在（-∞，2）单调递增，
由关于x的不等式f（2x-1）-f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x-1）＞f（x+1），
∴|2x-1-2|＜|x+1-2|即|2x-3|＜|x-1|，化简为3x²-1x+8＜0，解得x∈（$\frac{4}{3}$，2）；
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的单调性以及对称性的运用；关键是由已知得到函数的单调性，利用单调性得到自变量的关系．