Question

6．抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点$M（\frac{p}{2}，p）$到其焦点F的距离是2．
（Ⅰ）求C的方程．
（Ⅱ）过点M作圆D：（x-a）²+y²=1的两条切线，分别交C于A，B两点，若直线AB的斜率是-1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）C的准线是$x=-\frac{p}{2}$，根据抛物线定义有$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，p=2，即可得C的方程；
（Ⅱ）设$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，则$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=-1$，所以y₁+y₂=-4．求出MA斜率${k_1}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，MB斜率${k}_{2}=\frac{4}{{y}_{2}+2}$，所以${k_1}+{k_2}=\frac{{4（{y_1}+{y_2}+4）}}{{（{y_1}+2）（{y_2}+2）}}=0$．
可设经过点M的圆D切线方程是y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，则$\frac{|ka+2-k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得（a²-2a）k²+4（a-1）k+3=0，故${k_1}+{k_2}=-\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}$=0，可得实数a的值．

解答 解：（Ⅰ）C的准线是$x=-\frac{p}{2}$，根据抛物线定义有$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，p=2，
故C的方程是y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）设$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，则$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=-1$，所以y₁+y₂=-4．…（6分）
因为M（1，2），所以MA斜率${k_1}=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{{{y_1}^2}}{4}-1}}=\frac{4}{{{y_1}+2}}$，
同理MB斜率${k}_{2}=\frac{4}{{y}_{2}+2}$，所以${k_1}+{k_2}=\frac{{4（{y_1}+{y_2}+4）}}{{（{y_1}+2）（{y_2}+2）}}=0$．…（8分）
可设经过点M的圆D切线方程是y-2=k（x-1），
即kx-y+2-k=0，则$\frac{|ka+2-k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得（a²-2a）k²+4（a-1）k+3=0，故${k_1}+{k_2}=-\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}$．
因此$\frac{4（a-1）}{{{a^2}-2a}}=0$，a=1．…（12分）

点评 本题考查了抛物线的定义、方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．