Question

18．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为（0，1），其离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上一点P满足∠F₁PF₂=60°，其中F₁，F₂为椭圆的左右焦点，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程，则b=1，根据椭圆的离心率即可求得a的值，即可求得椭圆方程；
（2）根据余弦定理，即可求得丨PF₁丨•丨PF₁丨，利用三角形的面积公式即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
椭圆的一个顶点为（0，1）则b=1，…（2分）
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，…（4分）
椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；       …（6分）
（2）设丨PF₁丨=n，丨PF₂丨=m，∠F₁PF₂=60°，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=丨PF₁丨²+丨PF₂丨²-2丨PF₁丨•丨PF₁丨cos60°，
4c²=m²+n²-2mncos60°=（m+n）²-3mn=4a²-3mn，
则4×（$\sqrt{2}$）²=4a²-3mn，解得：mn=$\frac{4}{3}$，
即丨PF₁丨•丨PF₁丨=$\frac{4}{3}$，…（8分）
△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$×丨PF₁丨丨PF₁丨×sin∠F₁PF₂，
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
△F₁PF₂的面积$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查余弦定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．