Question

8．定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，则$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{9}{10}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 首先根据信息建立等量关系，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出结果．

解答 解：定义$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．
所以：已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+1}$，
即：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$
所以：S_n=n（2n+1）
则：a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
当n=1时，也成立．
则：a_n=4n-1．
由于：b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
所以：$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
则：$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{9}{b}_{10}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$）
=1-$\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
故选：B

点评 本题考查的知识要点：信息题型的应用，数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和．