Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（ ）n﹣1+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan ． （Ⅰ）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=log2 ，数列{ }的前n项和为Tn ， 求满足Tn （n∈N*）的n的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵Sn=﹣an﹣（ ）n﹣1+2（n∈N+），当n≥2时，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（ ）n﹣2+2（n∈N+）， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+（ ）n﹣1 ，
化为2nan=2n﹣1an﹣1+1．
∵bn=2nan ． ∴bn=bn﹣1+1，即当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1．
令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1 ， 即a1= ．
又b1=2a1=1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn=1+（n﹣1）1=n=2nan ，
∴an= ．
（Ⅱ）解：∵cn=log2 =n，
∴ = ﹣ ，
∴Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）=1+ ﹣ ﹣ ，
由Tn ，得1+ ﹣ ﹣ ，即 + ＞ ，
∵f（n）= + 单调递减，f（4）= ，f（5）= ，
∴n的最大值为4
【解析】（Ⅰ）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”及其等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）先求通项，再利用裂项法求和，进而解不等式，即可求得正整数n的最大值．