Question

半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（　　）

• A、

  3

  2+ 3

  R
• B、

  6

  3+ 6

  R
• C、

  1

  1+ 3

  R
• D、

  15

  2+ 5

  R

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．

解答： 解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心
该正四面体的高为

4r2-( 2 3 r 3 )2

=

2 6 r

3

设正四面体的外接球半径为x，则x²=（

2 6 r

3

-x）²+（

2 3 r

3

）²
∴x=

6

2

r
∴R=

6

2

r+r，
∴r=

6

3+ 6

R．
故选：B．

点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．