Question

已知

a

=（x，0），

b

=（1，y），（

3

a

+

b

）⊥（

3

a

-

b

）．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx-1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的异侧，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，化简整理即可得到轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把y=kx-1代入3x²-y²=1，运用判别式大于0，和两根之积小于0，解不等式求交集即可得到．

解答： 解：（1）由(

3

a

+

b

)⊥(

3

a

-

b

)，得到(

3

a

+

b

)•(

3

a

-

b

)=0，
又

a

=(x，0)，

b

=(1，y)，得

3

a

+

b

=(

3

x+1，y)，

3

a

-

b

=(

3

x-1，-y)
∴(

3

x+1)•(

3

x-1)+y•(-y)=0，
故所求的轨迹方程是3x²-y²=1；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把y=kx-1代入3x²-y²=1，得(3-k2)x2+2kx-2=0，由3-k2≠0且△＞0，得-

6

＜k＜

6

且k≠±

3

，
∵A、B在y轴的异侧，∴x₁x₂＜0，得到-

3

＜k＜

3

，
综上，得k∈(-

3

，

3

)．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查双曲线方程和运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．