Question

18．已知抛物线C：y²=4x．
（1）过抛物线C上的点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，求PQ中点R的轨迹D的方程；
（2）过抛物线C的焦点作倾斜角为45°的直线l，l与轨迹D交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）先设出垂线段的中点为D（x，y），P（x₀，y₀）是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可；
（2）根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，利用韦达定理、弦长公式求解即可．

解答 解：（1）设D（x，y），P（x₀，y₀），Q（x₀，0），
因为D是PQ的中点，所以x₀=x，y=$\frac{1}{2}$y₀，
有x₀=x，y₀=2y，
因为点P在抛物线上，所以y₀²=4x₀，即4y²=4x，
所以y²=2x，所求点D轨迹方程为：y²=x．
（2）由y²=4x得焦点为F（1，0），所以直线l：y=x-1，
代入抛物线y²=x化简得x²-3x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3，x₁x₂=1
所以所求的弦长为$\sqrt{2}×\sqrt{9-4}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查求轨迹方程的方法，考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．