Question

（本题满分14分）已知函数（且）．
（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，试求a的取值范围．
注：e为自然对数的底数。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由于，故当x∈时，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以，
故函数在上单调递增。       ………………………………………4分
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为，且 在R上单调递增，
故有唯一解x=0。
要使函数 有三个零点，所以只需方程 有三个根，
即，只要，解得t=2； ………………………………9分
（Ⅲ）因为存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，
所以当x∈[﹣1,1]时，。
由（Ⅱ）知，，
。
事实上，。
记（）
因为 
所以 在上单调递增，又。
所以  当 x＞1 时，；
当0＜x＜1 时，，
也就是当a＞1时，；
当0＜a＜1时，。
① 当时，由，得，
解得 。
②当0＜a＜1时，由，得，
解得 。
综上知，所求a的取值范围为。

解析