Question

4．下列四个命题申是真命题的是①③④（填所有真命题的序号）
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P过定点A（-2，0），且在定圆B：（x-2）²+y²=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．

Answer 1

分析 ①根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题的真假关系进行判断．
②根据空间角的平行定理进行判断．
③根据线面所成角的定义进行求解判断．
④根据圆与的内切关系以及椭圆的定义进行判断．

解答 解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P-ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}×3=\sqrt{3}$
∵侧棱长为2，∴$PO=\sqrt{4-3}=1$
在直角△POC中，tan∠PCO=$\frac{PO}{CO}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴侧棱与底面所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（-2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度中等．