Question

13．已知线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D为垂足，|PD|=5cm，|AB|=8cm，连接PA、PB、PC．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥BC，BC⊥CD，可得BC⊥平面PDC，即可证明平面PBC⊥平面PDC；
（2）确定∠PBD是PB与平面ABCD所成角，即可求PB与平面ABCD所成角的正切值．

解答 证明：（1）因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC．
因为ABCD是正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D
所以BC⊥平面PDC，
又BC⊆平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．…（3分）
（2）因为PD⊥面ABCD，所以BD为PB在面ABCD内射影，
即∠PBD是PB与平面ABCD所成角．…（5分）
在Rt△PDB中，|PD|=5cm，$|{BD}|=8\sqrt{2}$cm，所以tan∠PBD=$\frac{{|{PD}|}}{{|{BD}|}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{16}$．…（7分）

点评 本题考查线面垂直，平面与平面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．