Question

4．若函数f（x）的定义域为R，且对-切实数x，都有f（-x）=f（x），且f（2+x）=f（2-x），试证明f（x）为周期函数．并求出它的一个周期．

Answer 1

分析 根据已知可f（-x）=f（x），且f（2+x）=f（2-x）恒成立，可得f（4+x）=f（x），进而得到答案．

解答 证明：函数f（x）的定义域为R，且对-切实数x，都有f（-x）=f（x），且f（2+x）=f（2-x），
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=f[2-（2+x）]=f（-x）=f（x），
即f（x）为周期函数．
4即为函数的一个周期．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，正确理解函数周期性的定义，是解答的关键．