Question

已知函数f（x）=ax²-ln x．
（1）求函数的单调区间与最值；
（2）当a=1时，函数g（x）=1-

f(x)

x2

，求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数单调性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数大于0，小于0，分别求函数的单调区间与最值；
（2）通过a=1，利用（1）的结论，求解函数g（x）=1-

f(x)

x2

的导数，利用最值，放缩裂项法求和，即可证明

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

．（其中e为自然对数的底数）

解答： 解：（1）因为f'（x）=

2ax2-1

x

（x＞0），
所以①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[

2a

2a

，+∞），递减区间为（0，

2a

2a

），
所以有最小值f（

2a

2a

）=

1

2

[1+ln（2a）].5分
（2）当a=1时，函数g（x）=

lnx

x2

（x＞0），
g'（x）=

1-2lnx

x3

，
函数g（x）在（

e

，+∞）上单调递减，在（0，

e

）上单调递增，
所以有g（x）=

lnx

x2

≤g（

e

）=

1

2e

，

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，且有

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

•（

1

n-1

-

1

n

），
取x=2，3，…，
则

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]，
所以

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

•（1-

1

n

）＜

1

2e

.12分．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，裂项法求和，以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．