Question

若函数f（x）=x³+ax²-2x+5在区间（

1

3

，

1

2

）上不是单调函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，由题意得函数的导数在区间（

1

3

，

1

2

）上至少有一个零点，分两种情况①若只有一个零点；②若有两个不同零点，进行讨论，综合可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²-2x+5
∴f′（x）=3x²+2ax-2
根据题意，函数在区间（

1

3

，

1

2

）上至少有一个零点
①若只有一个零点，f′（

1

3

）f′（

1

2

）＜0，得a∈（

5

4

，

5

2

），
②若有两个不同零点，则

f′( 1 3 )＞0 f′( 1 2 )＞0 △＞0 1 3 ＜- a 3 ＜ 1 2

，解得：a∈∅，
综上：a∈（

5

4

，

5

2

），
故答案为：（

5

4

，

5

2

）．

点评：本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题．解题时应该注意导数零点个数的讨论，以免出现只一个零点的误解．