Question

5．在△ABC中，有下列结论：
①若a²=b²+c²+bc，则∠A为60°；
②若a²+b²＞c²，则△ABC为锐角三角形；
③若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3，
④在△ABC中，b=2，B=45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值范围为（2，2$\sqrt{2}$）
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①，由余弦定理可得cosaA，即可判定；
②，若a²+b²＞c²，只能判定C为锐角，不能判定△ABC为锐角三角形；
③，由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC≠A：B：C；
④，由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．

解答 解：对于①，由余弦定理得cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，∴A=120°，故错；
对于②，若a²+b²＞c²，只能判定C为锐角，不能判定△ABC为锐角三角形，故错；
对于③，由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC≠A：B：C，故错；
对于④，解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$
=2$\sqrt{2}$sinA，∵2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$）．∴a的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$）．故正确．
故选：A

点评 本题考查了命题的真假判定，涉及到了解三角形的基础知识，属于中档题．