Question

【题目】已知圆,圆与圆关于直线对称.

(1)求圆的方程;

(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.

(i)求的坐标;

(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）,（ii）见解析

【解析】

(1)根据题意，将问题转化为关于直线的对称点即可得到，半径不变，从而得到方程；

(2) (i) 设，由于弦长和距离都相等，故P到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；

(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断.

（1）设，因为圆与圆关于直线对称，，

则直线与直线垂直，中点在直线上，得

解得所以圆.

（2）（i）设的方程为，即；

的方程为，即.

因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，

所以到的距离与到的距离相等，即，

所以或.

由题意，到直线的距离，

所以不满足题意，舍去，

故，点坐标为.

（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.

证明如下：

当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的半径；

当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.

当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即.

因为到的距离，

到的距离，所以到的距离与到的距离相等.

所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.

综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.