Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），点 是曲线 上的一动点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为 .
（Ⅰ）求线段 的中点 的轨迹的极坐标方程；
（Ⅱ）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设线段 的中点 的坐标为 ，
由中点坐标公式得 （ 为参数），
消去参数得 的轨迹的直角坐标方程为 ，
由互化公式可得
故答案为：点 的轨迹的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）由直线 的极坐标方程为 ，得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的普通方程为 ，它表示以 为圆心，2为半径的圆，
则圆心到直线 的距离为 ，所以直线 与圆相离，
故答案为：曲线 上的点到直线 的距离的最大值为
【解析】（1）设OP的中点M的坐标为（x,y),用中点坐标公式将点M的坐标表示为为参数的参数方程,先普通方程，再化为极坐标方程.
（2）将直线l的极坐标方程用公式化为普通方程，当直线与圆相离时，圆上的点到直线的点的距离最大值就是圆心到直线的距离加上半径.