Question

4．已知函数f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|，a∈R．
（Ⅰ）若f（a）≤2|1-a|，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1存在实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（a）≤2|1-a|，则|1-a|+|a-a²|≤2|1-a|，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1存在实数解，则f（x）_min≤1，．利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为（a-1）²，可得（a-1）²≤1，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）若f（a）≤2|1-a|，则|1-a|+|a-a²|≤2|1-a|，
即（|a|-1）|1-a|≤0，
∴-1≤a≤1；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1存在实数解，则f（x）_min≤1，
∵f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|≥（a-1）²，
∴（a-1）²≤1
∴0≤a≤2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．