Question

求函数f（x）=ax²+3x-4（-1≤x≤a）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：①当a=0时，函数f（x）=3x-4=（-1≤x≤0），易得其最值．当②当-1≤a＜0时、③当

3

2

＞a＞0时、④当a≥

3

2

时，再利用二次函数的性质分别求得它的最值．

解答： 解：①当a=0时，函数f（x）=3x-4=（-1≤x≤0），故函数的最小值为-7，最大值为-4．
②当-1≤a＜0时，函数f（x）=ax²+3x-4=a(x+

3

2a

)2-4-

9

4a

 （-1≤x≤a）在区间[-1，a]上是增函数，
故当x=-1时，函数取得最小值为a-7，当x=a时，函数取得最大值为a²-3a-4．
③当

3

2

＞a＞0时，-

3

2a

＜-1，函数f（x）ax²+3x-4=a(x+

3

2a

)2-4-

9

4a

（-1≤x≤a）
在区间[-1，a]上是增函数，
故当x=-1时，函数取得最小值为a-7，当x=a时，函数取得最大值为a²-3a-4．
④当a≥

3

2

时，-

3

2a

∈[-1，0），则当x=-

3

2a

时，函数取得最小值为-4-

9

4a

；
当x=1时，函数取得最大值为 a-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．