Question

设函数y=

f(x)

x

在R⁺上单调递减，证明：对任意的x₁，x₂∈R⁺，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：根据函数的单调性以及利用不等式的性质，即可证明不等式．

解答： 解：∵x₁，x₂∈R⁺，
∴x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∵函数y=

f(x)

x

在R⁺上单调递减，
∴

f(x1)

x1

＞

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＞

f(x1+x2)

x1+x2

，
则f(x1)＞

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f(x2)＞

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
则f(x1)+f(x2)＞

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=

x1+x2

x1+x2

?f(x1+x2)=f(x1+x2)，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立．

点评：本题主要考查不等式的证明，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．