Question

17．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x^2}-ax-\frac{1}{2}{a^2}$（e是自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）求证：|f（x）|≥-（x-1）²+$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[-2.1]=-3，若对任意x₁≥0，都存在x₂＞0，使得g（x₁）≥[f（x₂）]成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$（x＞0）．求出函数的最小值，利用二次函数的性质推出结果．
（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）_min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f（x）]_min，题目转化为g（x）_min≥[f（x）]_min，h（x）=e^x-x-a，h'（x）=e^x-1，通过求解导数，①当a≤1时，求出$g{（x）_{min}}=1-\frac{a^2}{2}≥0$，②当a＞1时，利用h（x）在[0，+∞）上是增函数，推出$a={e^{x_0}}-{x_0}$，转化求出$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}-a{x_0}-\frac{1}{2}{a^2}≥0$，转化求解1＜a≤2-ln2．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$（x＞0）．
当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，
即f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为$f（1）=\frac{1}{2}$，
所以$|f（x）|=f（x）≥\frac{1}{2}$，
又$-{（x-1）^2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$，且当x=1时等号成立，
所以，$|f（x）|≥-{（x-1）^2}+\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）_min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f（x）]_min，
依题意有g（x）_min≥[f（x）]_min，
由（Ⅰ）知$f（x）≥\frac{1}{2}$，所以[f（x）]_min=0，则有g（x）_min≥0，g'（x）=e^x-x-a．
令h（x）=e^x-x-a，h'（x）=e^x-1，
而当x≥0时，e^x≥1，所以h'（x）≥0，
所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，所以h（x）_min=h（0）=1-a．
①当1-a≥0，即a≤1时，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，所以$g{（x）_{min}}=g（0）=1-\frac{a^2}{2}$，
依题意有$g{（x）_{min}}=1-\frac{a^2}{2}≥0$，解得$-\sqrt{2}≤a≤\sqrt{2}$，
所以$-\sqrt{2}≤a≤1$．
②当1-a＜0，即a＞1时，因为h（x）在[0，+∞）上是增函数，且h（0）=1-a＜0，
若a+2＜e²，即1＜a＜e²-2，则h（ln（a+2））=a+2-ln（a+2）-a=2-ln（a+2）＞0，
所以?x₀∈（0，ln（a+2）），使得h（x₀）=0，即$a={e^{x_0}}-{x_0}$，
且当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以，g（x）在（0，x₀）上是减函数，在（x₀，+∞）上是增函数，
所以$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}-a{x_0}-\frac{1}{2}{a^2}≥0$，
又$a={e^{x_0}}-{x_0}$，所以$g{（x）_{min}}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{（{x_0}+a）^2}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{e^{2{x_0}}}=\frac{1}{2}{e^{x_0}}（2-{e^{x_0}}）≥0$，
所以${e^{x_0}}≤2$，所以0＜x₀≤ln2．
由$a={e^{x_0}}-{x_0}$，可令t（x）=e^x-x，t'（x）=e^x-1，当x∈（0，ln2]时，e^x＞1，所以t（x）在（0，ln2]上是增函数，
所以当x∈（0，ln2]时，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2-ln2，
所以1＜a≤2-ln2．
综上，所求实数a的取值范围是$[{-\sqrt{2}，2-ln2}]$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．